Ottův slovník naučný/Addiční theorém

Ottův slovník naučný
Addictio annorum	Addiční theorém	Ad diem dictum

Údaje o textu
Titulek:	Addiční theorém
Autor:	Augustin Pánek
Zdroj:	Ottův slovník naučný. První díl. Praha: J. Otto, 1888. S. 184–185. Dostupné online.
Licence:	PD old 70

Addiční theorém neboli věta addiční. Větou a. jisté funkce f (x) rozumí se věta, která praví, jak lze hodnotu funkce f (x +y) vyjádřiti funkcemi f (x) a f (y), a sice předpokládá se, že vyjádření to děje se pouze prostředky algebraickými. Leží na snadě, že pouze jisté zvláštní funkce mohou míti takovouto vlastnost; avšak jsou to funkce nejhojněji užívané. Na př. vyjadřují vzorce

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\sin(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ $e^{\alpha +\beta }=e^{\alpha }e^{\beta }$

addiční větu funkcí sin x, cos x, e^r.

Podobně vyskytuje se a. věta u funkci elliptických. A. věty těchto funkcí lze vyjádřiti též jakožto a. věty jistých integrálů. Tak na př. plyne z rovnice

$arc\sin x=\int _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

a z a věty pro funkci sinus následující vzorec:

$\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}+\int _{0}^{y}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}=\int _{0}^{z}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}$,

kde

$z=x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}$.

Podobného druhu vzorce existují pro součet dvou integrálů elliptických.

Mnohem obecnější však jest a. t. obecných integrálů funkcí algebraických. Mysleme si algebraickou rovnici mezi dvěma proměnnými x a y tvaru f (x, y) = 0, kterou se proměnná y definuje jakožto funkce nezávisle proměnné x. Budiž dále F (x, y) racionální funkce veličin x, y, která se nestává nekonečnou pro všecky páry (x, y), vyhovující vztahu f (x, y) = 0. Rovnici f (x, y) = 0 lze pokládati za rovnici jisté křivky K v soustavě pravoúhlých souřadnic x, y; pak nemá funkce F (x, y) státi se nekonečnou pro všecka místa křivky K, nýbrž pouze smí se tak přihoditi v konečném počtu bodů této křivky. Za této podmínky pak existuje integrál $\int$ F (x, y) dx, a integrály takové zovou se Abelovými, poněvadž geniální mathematik norský Abel (v. t. 8.) nalezl jejich nejdůležitější vlastnost, větu a., která se také dle Jacobiho nazývá větou Abelovou. Abychom tuto větu zde vytkli, použijeme její geometrické formy, jakou jí dali Clebsch a Gordan. Mysleme si dvě křivky G₀ (x, y) = 0, G₁ (x, y) = 0 téhož stupně, které protínají křivku K v bodech resp.

$(x_{0},y_{0}),(x_{0}^{'},y_{0}^{'}),(x_{0}^{''},y_{0}^{''}),...,(x_{0}^{(m)},y_{0}^{(m)})$, $(x_{1},y_{1}),(x_{1}^{'},y_{1}^{'}),(x_{1}^{''},y_{1}^{''}),...,(x_{1}^{(m)},y_{1}^{(m)})$;

pak praví věta Abelova, že součet integrálů

$\int _{x_{0},y_{0}}^{x_{1},y_{1}}F(x,y)dx+\int _{x_{0}^{'},y_{0}^{'}}^{x_{1}^{'},y_{1}^{'}}F(x,y)dx+\int _{x_{0}^{''},y_{0}^{''}}^{x_{1}^{''},y_{1}^{''}}F(x,y)dx+...+\int _{x_{0}^{(m)},y_{0}^{(m)}}^{x_{1}^{(m)},y_{1}^{(m)}}F(x,y)dx$,

možno vždy vyjádřiti t. zv. tvarem zakončeným, t. j. jakožto aggregát výrazů algebraických a jich logarithmů, kteréžto výrazy algebraické obsahují pouze koefficienty rovnic f (x, y) = 0, G₀ (x, y) = 0, a G₁ (x, y) = 0. Tento svůj theorém, který právem lze pokládati za fundamentální theorém nové analyse, dokázal Abel v pojednání Remarques sur quelques propriétés générales d'une certaine sorte de fonctions transcendantes a později způsobem obecnějším ve článku Démonstration d'une propriété générale d'une certaine classe de fonctions transcendantes. Podlé své povahy rozpadají se Abelovy integrály ve tři druhy. Integrály druhu prvého jsou ty, které na všech místech křivky základní K jsou konečny (i na místech nekonečně vzdálených); k druhu druhému počítáme integrály, které se stávají na jistých místech křivky K (vyskytujících se v konečném počtu) algebraicky nekonečnými; integrály druhu třetího jsou pak ty, které na jistých místech stávají se logarithmicky nekonečnými.

Podrobnou theorii těchto integrálů a funkcí Abelových, vzniklých inversí těchto integrálů, viz ve spisech. C. Neumann, Vorles. über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale; Clebsch a Gordan, Theorie der Abel, schen Functionen; Briot, Théorie des fonctions abéliennes.

Theorii integrálů a funkcí Abelových zbudovali Rosenhain (Recueil des savants étrangers de l'Académie des sciences de Paris, t. XI., pag. 361.), Göpel (Crelle, Journal für reine u. angewandte Mathematik, sv. 35.), Weierstrass (t. svaz. 52.) a Riemann (t. svaz. 54.).

Zvláštním případem integrálů Abelových jsou integrály, které Legendre nazval hyperelliptickými neb ultraelliptickými, a které jsou tvaru

$\int [\phi (x)+\psi (x){\sqrt {R(x)}}]dx$

kde φ (x) a ψ (x) jsou funkce racionálné, a R (x) celistvá funkce stupně vyššího než 4., a k nim výhradně vztahují se úvahy Göpelovy, Rosenhainovy a Weierstrassovy.

Nepokládajíce za vhodné zabíhati do podrobností této partie, která jest jednou z nejnesnadnějších a nejimposantnějších v celé analysi, odkazujeme čtenáře ke článku elliptické funkce, v němž nalezne podrobnější udání o případě nejjednodušším sice, ale přece veledůležitém. AP.