Ottův slovník naučný/Bilineárná forma

Ottův slovník naučný
Bílina	Bilineárná forma	Bilineurin

Údaje o textu
Titulek:	Bilineárná forma
Autor:	Otakar Ježek
Zdroj:	Ottův slovník naučný. Čtvrtý díl. Praha : J. Otto, 1891. S. 59–60. Dostupné online.
Licence:	PD old 70
Heslo ve Wikipedii: Bilineární forma

Bilineárná forma nazývá se výraz

$F=\sum _{h,k}a_{hk}x_{h}y_{k}\quad (h,k=1,2,\dots n).$

Napíšeme-li tudíž soustavu $n^{2}$ koefficientů $a_{hk}$, t. j.

${\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn},\end{matrix}}$

jest patrno, že jí b. f. úplně jest stanovena, a naopak. Takovouto soustavu $n^{2}$ prvků nazýváme dle Cayleye maticí n-ho řádu a značíme symbolem $\|a_{hk}\|$ nebo stručně $A$, tak že

$A=\|a_{hk}\|$.

Jest patrno, že studium matic usnadní prozkoumání b-ných f-rem. B-nou f-mu lze nyní psáti ve tvaru

$F=\sum _{h=1}^{n}x_{h}A(y)_{k},$

kde $A(y)_{k}$ značí h-tý element soustavy $A(y)$, t. j. kde

$A(y)_{h}=a_{h1}y_{1}+\dots +a_{hn}y_{n}.$

Matice ${\bar {A}}=\|a'_{hk}\|$, v níž $a'_{hk}=a_{kh}$, nazývá se maticí k $A$ konjugovanou čili transponovanou, tak že lze též $F$ psáti ve tvaru

$F=\sum _{h=1}^{n}y_{h}A(x)_{k}.$

Jsou-li nyní $C$ a $D$ dvě matice o $n^{2}$ elementech, jejichž determinanty jsou různy od nully, lze položiti

$x=C(x'),\ y=D(y'),$

t. j. transformovati neurčité $(x)$ a $(y)$ dvěma lineárnými substitucemi na nové neurčité hodnoty $(x')$ a $(y')$. Jest pak

${\begin{aligned}F&=\sum _{h=1}^{n}x_{h}{\bar {C}}AD(y')_{h}=\sum _{h=1}^{n}C(x')_{h}AD(y')_{h}\\&=\sum _{h=1}^{n}x'_{h}AD(y')_{h}=\sum _{h=1}^{n}x'_{h}A'y'_{h},\end{aligned}}$

kde

$A'={\bar {C}}AD.$

Tuto b-nou f-mu proměnných $(x')$ $(y')$ nazýváme formou aequivalentní. Hlavní problém b-ných f-rem jest problém současné transformace dvou b-ných f-rem, který vzhledem ku právě podotčenému lze takto formulovati:

Dány jsou dvě matice $P$ a $Q$ a další dvě matice $P'$ a $Q'$ o $n^{2}$ elementech; má se rozhodnouti, možno-li stanoviti dvě matice $H$ a $K$ o determinantech různých od nully tak, by platily současně rovnice

$P'=HPK,\ Q'=HQK.$

Ze samostatných spisův a důležitých pojednání o b-ných f-mách sluší vytknouti v naší literatuře výtečný spis Ed. Weyra O theorii forem bilineárných (1889), poctěný roku 1889 jub. cenou kr. čes. společnosti nauk v Praze, a podávající vedlé jasného výkladu dosud známých theorií celou řadu nových relací, z nichž některé v „Compt. rend.“, 1884 a 1885, a ve „Věst. kr. čes. spol. nauk v Praze“, 1884 a 1888, byly uveřejněny. Dále buďtež uvedeny: Sylvester, „Phil. Magaz.“ 1851, „Comptes rendes“, sv. 98., 99.; Cayley, „Phil. Transact.“, 1859; Weierstrass, „Monatsber. d. k. preuss. Akademie d. W.“, 1858, 1868; Kronecker, tam., 1874; Jordan, „Journal de Mathématiques pures et appl.“, publié par Liouville, 1874; Darboux, tam, 1874; Frobenius, „Crelles Journal“, 1877; Stickelberger, tam., 1879; Méray, Exposition nouvelle de la théorie des formes linéaires des déterminants (Paříž, 1884). OJž.