Ottův slovník naučný/Algebra logičná

Ottův slovník naučný
Algebra geometrická	Algebra logičná	Algebra lučební

Údaje o textu
Titulek:	Algebra logičná
Autor:	Josef Beneš
Zdroj:	Ottův slovník naučný. První díl. Praha: J. Otto, 1888. S. 851–852. Dostupné online.
Licence:	PD old 70

Algebra logičná (logical algebra u Angličanů, logique algorithmique Francouzů, Logikkalkul nebo Algorithmus der Logik u Němců) vyvozuje logické důsledky znaky obdobnými oněm, kterými a. čísel určuje prosté důsledky číselní. Počátky její hledati dlužno u Leibnize, jak to zvláště vidno z Erdmannova doplňkového vydání jeho spisů (úryvky o scientia generalis, calculus philosophicus). Podrobněji k tomu poukázaly u nás rozbory Exnerovy a Květovy, v Německu Trendelenburgovy a Prantlovy. Ve století XVIII. nezůstaly Leibnizovy plány nepovšimnuty, zřejmě se jich aspoň dotýkají Lambert, Ploucquet, Tönnies a jiní; provedeny ale nebyly. V prvé polovici tohoto století angličtí logikové George Bentham, W. Hamilton a arcibiskup Thomson zbavovali se výlučného vlivu Aristotelova, přidavše učení o kvantifikaci přísudku, o němž již Ploucquet smýšlel. George Boole r. 1847 prvním pokusem a r. 1854 konečným dílem »An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities« aspoň v jednom směru provedl záměry Leibnizovy: operuje zavedenými znaky a transformuje rovnice logičné. Nedostatky a-ry Booleovy snažili se nejvíce odstraniti: Aug. de Morgan a W. Jevons; oba zjednodušili systém Booleův a prvý počal jej zvláště na vztažné pojmy rozšiřovati. Jevons řeší úlohy i pomocí logičné tabulky (abakus) a stroje (viz Abecedarium). Na pevnině založeny byly samostatně, tuším, snahy H. Grassmannovy, naznačené r. 1861 a provedené bratrem Robertem ve spise »Die Begriffslehre oder Logik«, Štětín 1872. U Grassmannů jeví se také současně snaha po a-bře universální, podobně jako u Schrödera a Frega (Begriffschrift). U Francouzů vzdělala-ru l-nou Delbouef r. 1876 a Liard podal přehled prací a směrů logikův anglických, podobný německé práci Riehlově, kterou snad prolomena hráz nepřístupnosti anglického směru formálního do prací logiků německých (jmenovaní dosud byli mathematikové), tak že Wundt do své logiky zavedl již dosti podrobně systém Booleův. Z ostatních jmenováni buďtež Leslie Ellis, Ar. Cayley, Hugh Mc Coll, J. Venn, Alex. Mc Farlane a hlavně Charles Peirce a jeho učňové Laddova-Franklinová,Mitchell atd. Ve slovanské literatuře podán přehled ruský Porěckým v publikacích kazaňského Obščestva jestěstvoispytatelej z r. 1884 a polský St. Piatkiewiczem ve výr. zprávě IV. gymnasia lvovského za rok 1888. Zde uvésti možno jen několik poznámek o symbolech, jež má a. l. pro pojmy, pro soujmy pojmův a pro vztahy jejich. Pro prvé jsou to ovšem písmena různých abeced. Základní dvě aggregace pojmů jsou: determinace a kollekce pojmů. Boole a následovníci zovou důsledně prvou logičným násobením, druhou logičným sčítáním; prvou tedy také značí pro dva pojmy A a B znakem AB, druhou A+B. Vztahu rovnosti odpovídá krytí pojmův a dle toho se i značí. Kříží-li se však pojmy v rozsahu svém tak, že na př. $A=m+p$, $B=n+p$, jsou-li m, n, p pojmy vzájemně se vylučující, tož dle pojmu determinace $AB=p$, dle pojmu kollekce $A+B=m+n+p$. Je-li jeden pojem (B) podřaděn druhému (A), tož patrně $A+B=A$, $AB=B$. Jest tu ve smyslu obecné, operační algebry idemfaktorem při logičném sčítání pojem nadřaděný, při logičném násobení podřaděný. Vylučují-li se oba pojmy A a B, tož logičný součet jejich se nedá redukovati, kdežto $AB=0$, značí-li 0 logičné nic jako obdobu kvantitativního. Opak onoho, logičné vše (the universe of discours) značí někteří 1, jiní právem $\infty$. Zvyklí jsouce algebře čísel pokládáme paradoxními vztahy další, jako: $AA=A$ a tedy i $AAA...=A$, $A+A+A+...=A$.

Logičné násobení není patrně odvoditelno ze sčítání, jak tomu jest v algebře čísel, aniž pak má shodného smyslu potence – obě operace jsou idempotentní. Dále $A+AB+ABC+...=A$, $A(A+B)(A+B+C)...=A$ (absorpční zákon Schröderův). Thetickým operacím logičného sčítání a násobení odpovídají lytické, obecně arci výsledkem neurčité operace logičného odčítání (excepse) a dělení (abstrakce). Schvální zavádění těchto ukázalo se však zbytečným, když zaveden znak pro negaci pojmů: Boole volil pro zápor pojmu A znak non A, Jevons a, Schröder A₁, jiní s Peircem ${\overline {A}}$. Jest patrně $a{\overline {a}}=0$, $a+{\overline {a}}=\infty$. Předními vztahy všech tří operací a-ry l-né jsou: $a+c=ac+a{\overline {c}}+{\overline {a}}c$, $ac+a{\overline {c}}+{\overline {a}}c+{\overline {ac}}=\infty$, což logický význam znaku $\infty$ vyjasňuje nejlépe. Pro soudy jiné, než ony, které krytí vyznačují, nutným znak nový a sice dvojí dle ličnosti. Pro soud obecný kladný Boole zavedl písmě v za znak =, tak že $a=vb$, pro soud částečný kladný $va=vb$. Dnes běžným jest právem znak Peirceův, zobdobňující tvarem i významem ličné <. Soud »každé a jest c« píše se $a\prec c$. Naproti »každé« jest v částečném soudu »některé«, značí jej tedy ${\overline {\prec }}$ (negace $\prec$), tak že soud »některé a jest c« píše $a{\overline {\prec }}{\overline {c}}$, poněvadž nutně »některé a jest také non c«. Těmito a podobnými prostředky učí dále a. l. operovati a vede na místo dlouhé, unavující myšlénkové indukce často hravě k cíli, asi podobně jako znalostí základů neurčité analytiky snadně řeší se úlohy pro řešení »z paměti« obyčejně dosti obtížné. Anglický filosofický časopis Mind a vychovatelský Educational Times předkládají takové problémy čtenářům. Bnš.