Ottův slovník naučný/Čtverec

Ottův slovník naučný
Čtverák	Čtverec	Čtverhran

Údaje o textu
Titulek:	Čtverec
Autor:	Augustin Pánek
Zdroj:	Ottův slovník naučný. Šestý díl. Praha : J. Otto, 1893. S. 814–816. Dostupné online.
Licence:	PD old 70
Heslo ve Wikipedii: Čtverec
Související články ve Wikipedii: Metoda nejmenších čtverců, Magický čtverec

Čtverec či kvadrát jest rovnostranný čtyřúhelník, jehož všecky úhly jsou pravé, tedy jest pravidelným čtyřúhelníkem (v. t.). Za míru ploch béře se č., jehož strana rovná se určité jednotce délkové; čtverečná míra jest čtverečný metr (m²), čtverečný centimetr (cm²) atd. dle toho, je-li č. o straně jednoho metru, centimetru atd. Aby se určil ploský obsah č-rce třeba stranu jeho změřiti a samu sebou násobiti; je-li na př. strana 6 m dlouhá, jest plocha 6×6=36 m². Z té příčiny jmenuje se dvojmoc nějakého čísla č-rcem jeho. AP.

Č. ve vojenství viz Carré.

Č-rce nejmenší. Methodou č-rců nejmenších (počet vyrovnávací) podává se hlavně možnost vypočísti z několika měření nebo pozorování jedné nebo několika neznámých veličin pravdě nejpodobnější hodnoty jejich, jakož i střední chyby, po čas měření vzniklé; dále možno touž methodou vypočísti i z pozorování pravdě nejpodobnější hodnoty takových veličin, kterých nelze přímo měřiti nebo pozorovati. Methoda ta poskytla teprve pravého měřítka k posouzení, po jakou míru nalezené výsledky, na přímém měření nebo pozorování založené, jsou přesny, a zapudila nadobro nejistotu a nedůvěru, s jakou setkávaly se výsledky ty dříve. Methoda č-rců n. jest i ve směru heuristickém prospěšna. Poznávámeť jí odchylky přijatého zákona theoretického od empirického a dovedeme vyjádřiti odchylku tu novým zákonem empirickým, který theoretický zákon doplňuje, ano třeba i k některé nepovšimnuté vlastnosti v theorii ukazuje, pobádaje takto k úplnějšímu spracování theorie. V astronomii užito ve příčině té methody č-rců n. rozsáhlou měrou a s prospěchem neobyčejným (Leverrierovo a Adamsovo vypočtení Neptuna). Druhá heuristická stránka methody č-rců n. záleží v tom, že lze často vyzkoumati, jsou-li některá pozorování podvržena čili nic. Zajímavý příklad sem hledící uvádí stavitel vodní Hagen, dokázav methodou č-rců n., že měření spádu, profilu a množství vody řeky Rýna, jež r. 1808 uveřejnil inženýr Funk, a na jehož výsledcích hlavně založen jest známý, téměř 70 let v hydrodynamice užívaný vzorec Eytelweinův, se skutečností nemůže býti ve shodě. V astronomii, geodaesii, fysice, mechanice, meteorologii, krystallografii a jinde jest řešiti často soustavu většího počtu rovnic, než jest počet neznámých. Taková soustava rovnic slove přeurčitou, kterou řešiti učí methoda č-rců n., tak řečená, jež by se vlastně nazývati měla methodou nejmenších součtů č-rců. Prvním vynálezcem toho nad míru důležitého počtu jest slavný Gauss (1795), ač svůj vynález uveřejnil později ve spise Theoria motus corporum coelestium atd. (1809). Legendre téhož počtu samostatně se dobadal a svrchu řečený název uvedl v pojednání pařížské akademie umění, kde již uvozuje normální rovnice methody té (1806). Všeobecná pak platnost methody č-rců n. byla dokázána a odůvodněna Gaussem r. 1821 ve spise Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Nejjednodušší případ nastane tehdy, kdy běží pouze o to, určiti jednu veličinu, při čemž dlužno se spravovati pravidlem tímto: Je-li pravá hodnota veličiny jakés x, a jsou-li jednotlivé výsledky přímého měření nebo pozorování jejího k₁, k₂, …, k_n, bude ta hodnota veličiny té pravdě nejpodobnější, za kterou součet č-rců chyb

$$\varOmega =(x-k_{1})^{2}+(x-k_{2})^{2}+\ldots +(x-k_{n})^{2}$$

jest minimum. Z této rovnice, která tedy základní princip počtu toho vyjadřuje, dostaneme za hodnotu hledané veličiny pravdě nejpodobnější

$$x={\frac {k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{n}}{n}}={\frac {[k]}{n}},$$

což jest arithmetický průměr všech hodnot měření nebo pozorování. Průměru toho užívalo se od nepamětných dob beze všeho důkazu, neboť již přirozený mathematický cit vedl k vynalezení jeho. Princip ten tkví ve vědomí mathematickém tak pevně, že každá theorie vyrovnávací, která by se mu příčila, již předem vyhlášena by byla za pochybenou. I tehdy, je-li určiti několik neznámých z rovnic, jichž jest více než oněch, má platnost princip, dle něhož součet č-rců veškerých chyb jest minimum. Nejvíce se užívá methody té v astronomii a geodaesii; při pracích astronomických užil jí největší měrou Gauss, při pracích geodaetických mimo Gaussa hlavně Bessel. Hledíc ku pracím posledním jmenujeme ruské geodaety Struvea, Tencera, Bolotova, Bunjakovského a Saviče. Z geodaetův uvedených nejvíce vynikli co do užití methody č-rců n. Struve a Savič. Z knih a článkův o methodě č-rců n. stůjtež tu: Gerling, Die Ausgleichungsrechnung der praktischen Geometrie (1843). Spisu tomu, který vyniká řídkou jasností a obsahuje hojnost poučných příkladů, náleží hlavní zásluha o zavedení toho odvětví mathematického v technickou praxi v Němcích. Na základě theorie Gaussovy a dodatků Besselových Enke vypracoval řadu důkladných článkův o methodě č-rců n., uveřejněnou v »Berliner Astronomisches Jahrbuch« 1834, 1835, 1836, která ve mnohých kusech nahraditi může díla původní. Gauss, Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate (převedli do němčiny Börsch a Simon, Berlin, 1887). Slavný ruský astronom a mathematik Savič vydal jazykem ruským o předmětě tom velmi důkladný spis, jejž i Němci pokládají za nejlepší toho druhu a jejž C. G. Lais r. 1863 přeložil do němčiny. Velmi důvtipně spojil rozmanité výsledky badání z oboru toho v jeden organický celek, vyplniv jednotlivé mezery vlastními výzkumy a uved v souhlas theoretické výsledky s potřebami praxe. V jazyku českém stručný výklad methody č-rců n. podal August Seydler v úvodě k dílu svému »Základové theoretické fysiky« (díl I., Praha, 1880) a velmi obšírné spracování počtu tohoto napsal Frant. Müller »Kompendium geodésie a sférické astronomie« (díl I., čásť 1., t., 1887). Seznam spisův o methodě č-rců n. sestavil F. J. Studnička v Časopise pro pěst. math, a fys., roč. 2. AP.

Č. magický, čarovný, jest č. rozdělený po způsobu šachovnice na pole, do kterých jsou napsána čísla, kteráž všechna tvoří arithmetickou řadu. Čísla ta musí býti tak umístěna, aby řada vodorovná, svislá a úhlopříčná dávaly sobě rovné součty. Nejjednodušší č. m. jest tento:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Číslice od 1 do 9 jsou tak seřaděny, že číslice v řádcích 4, 9, 2; 3, 5, 7; 8, 1, 6, pak ve sloupcích 4, 3, 8; 9, 5, 1; 2, 7, 6 a v úhlopříčnách 4, 5, 6; 2, 5, 8 dají vždy součet 15. Počet polí po každé straně č-rce sluje číslo strany nebo kořen č-rce, dle čehož rozeznáváme č. m. se sudým nebo lichým číslem strany. Č-rce m. jsou asi původu indického a jméno jejich pochází od toho, že se jich užívalo jako talismanů. Zvláštní důležitosti se těší č. mající čísla stran 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a tudíž počet polí 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, kterážto pole jsou obsazena prvními 9, 16, 25, …, 81 přirozenými čísly a nazývají se pečeti planet (Sigilla Saturni, Jovis, Martis, Solis, Veneris, Mercurii, Lunae). Pokud známo, psal první o č-rci m. Řek Manuel Moschopulos ve století XIV. Text jeho (řecký) viz Günther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathem. Wissenschaften (Lipsko, 1876). Dále pojednal o č-rci m. Agrippa z Nettesheimu (De occulta philosophia, Kolín, 1533); Bachet de Méziriac našel methodu pro všecky č-rce, jejichž kořen jest číslo liché (Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, Lyon, 1624; srov. Cantor, Vorlesungen ü. Geschichte d. Mathem., II. díl, Lipsko, 1892, str. 700.); Kochanovski, rodilý Polák (Considerationes quaedam circa Quadrata et Cubos Magicos, nec non aliquot Problemata, omnibus Arithmophilis ad investigandum proposita. Acta Erudit., 1686); Poignard ukázal, kterak lze 36 č-rců po způsobu č-rců m-ckých vyplniti prvními šesti číslicemi, tak že žádná z nich v řadě vodorovné, svislé a úhlopříčně se neopakuje; také užil čísel řady geometrické místo arithmetické (Traité des quarrés magiques, Brussel, 1703); slavný Euler (Verhandelingen akademie holandské); Pessl (Ueber eine besondere Art magischer Quadrate, Amberk, 1873); Scheffler (Die magischen Figuren, Lipsko, 1882) a j. v. V novější době jsou sepsány pozoruhodné články od Angličanů: Thompsona (Quartely Journal of pure and applied Mathematics, svaz. 10.); Hornera (t., sv. 11.); Dracha (Messenger of Mathematics) a j. V Güntherově spise Ziele und Resultate der neueren math.-histor. Forschungen (Erlanky, 1876) konstatováno pochvalně o knize vydané lékařem F. Lihaříkem, Das Quadrat die Grundlage aller Proportionalität in der Natur und das Quadrat mit der Zahl Sieben die Uridee des menschlichen Körperbaues (Vídeň, 1862). V jazyku českém vydal MUC. Š. Hartmann O magickém troj- a čtyřčtverci (Praha, 1873). AP.