16
Když přímka protínajíc přímky dvě tvoří úhel vnější rovný úhlu vnitřnímu protějšímu na téže straně (souhlasné úhly) neb úhly vnitřní na téže straně (přilehlé) dvěma pravým rovné, budou ty přímky navzájem rovnoběžné.
Nuže přímka EF protínajíc dvě přímky AB, CD tvoř úhel vnější EGB rovný úhlu vnitřnímu protějšímu GHD neb úhly vnitřní na téže straně BGH, GHD dvěma pravým rovné; pravím, že AB∥CD.
Neboť ježto ∡EGB=GHD a ∡EGB=AGH, tedy též ∡AGH=GHD, a jsou střídavé; tedy AB∥CD (I. XXVII.).
Dále, ježto ∡BGH+GHD=2R, jsou pak též ∡AGH+BGH=2R, tedy ∡AGH+BGH=BGH+GHD; odečtěme společný ∡BGH, zbývající tedy ∡AGH=GHD, a jsou střídavé; tedy AB∥CD.
Když tedy přímka protínajíc přímky dvě — —.
Přímka protínajíc rovnoběžky tvoří střídavé úhly navzájem stejné a úhel vnější vnitřnímu protějšímu rovný a vnitřní na téže straně dvěma pravým rovné.
Nuže protínej rovnoběžky AB, CD přímka EF; pravím, že tvoří střídavé úhly AGH, GHD stejné a vnější ∡EGB rovný vnitřnímu protějšímu (souhlasnému) GHD a vnitřní na téže straně (přilehlé) BGH+GHD rovné dvěma pravým.
Neboť není-li ∡AGH=GHD, jeden z nich jest větší. Větším buď AGH; společným buď BGH; tedy (∡AGH+BGH)>(BGH+GHD). Avšak ∡AGH+BGH=2R. Tedy (BGH+GHD)<2R. Avšak ramena menších úhlů než dva pravé, prodlužovány jsouce do nekonečna, se stýkají; tedy AB, CD, prodlužovány jsouce do nekonečna, se setkají; avšak nestýkají se, ježto je pokládáme za rovnoběžky; tedy ∡AGH není neroven úhlu GHD; tedy roven. Avšak ∡AGH=EGB; tedy též ∡EGB=GHD. Společným buď ∡BGH; tedy ∡EGB+BGH=BGH+GHD. Avšak ∡EGB+BGH=2R; tedy též ∡BGH+GHD=2R.
Když tedy přímka protínajíc rovnoběžky — —.
