15
tedy GC=DF a △GBC=DEF, i zbývající úhly budou rovny zbývajícím úhlům, proti nimž leží stejné strany, tedy ∡GCB=DFE; avšak ∡DFE vzat za stejný s ∡BCA, tedy též ∡BCG=BCA, menší většímu; což právě nemožno. Tedy AB není nestejná s DE; tedy stejná. Jest pak též BC=EF; tož obě AB, BC oběma DE, EF jednotlivě rovny jsou, i ∡ABC=DEF; základna tedy AC=DF, i zbývající ∡BAC roven zbývajícímu ∡EDF (I. IV.).
Avšak již dále buďte strany proti rovným úhlům ležící stejné, na př. AB s DE; pravím opět, že též zbývající strany zbývajícím stranám budou rovny, t. AC=DF, BC=EF, a rovněž zbývající úhel BAC=EDF.
Neboť není-li BC=EF, jedna z nich jest větší. Větší buď, možno-li, BC, a dejme tomu, že BH=EF, a veďme spojnici AH. A ježto BH=EF, AB=DE, tož obě AB, BH oběma DE, EF střídavě rovny jsou, též úhly svírají stejné; tedy základna AH=DF a △ABH=DEF, i zbývající úhly rovny budou zbývajícím úhlům, proti nimž leží stejné strany, tedy ∡BHA=EFD. Avšak ∡EFD=BCA; tož v △AHC vnější ∡BHA rovná se vnitřnímu protějšímu BCA; což právě nemožno (I. XVI.). Tedy BC není nestejná s EF. Avšak AB=DE. Obě patrně AB, BC jsou střídavě stejné s oběma DE, EF, také svírají stejné úhly; tedy základna AC=DF a △ABC=DEF i zbývající ∡BAC=EDF.
Když mají tedy dva trojúhelníky — —.
Když přímka protínajíc přímky dvě tvoří střídavé úhly navzájem stejné, budou ty přímky navzájem rovnoběžné.
Nuže přímka EF protínajíc dvě přímky AB, CD tvoř úhly střídavé AEF, EFD navzájem stejné; pravím, že AB∥CD.
Neboť jinak AB, CD prodlouženy jsouce setkají se buď na straně B, D buď na straně A, C. Buďte prodlouženy a stýkejte se na straně B, D v G. V △GEF ovšem vnější ∡AEF rovná se vnitřnímu protějšímu EFG, což nemožno; tedy AB, CD jsouce prodlouženy nesetkají se na straně B, D. Podobně se dokáže, že ani na straně A, C; přímky však na žádné straně se nestýkající jsou rovnoběžné (I. vým. 23.); tedy AB, CD jsou rovnoběžky.
Když tedy přímka protínajíc přímky dvě — —.
