12
Když sestavíme v trojúhelníku od mezných bodů jedné strany uvnitř dvě přímky, sestavené budou kratší než ostatní dvě strany trojúhelníku, budou však svírati větší úhel.
Nuže sestavme v △ABC na jedné straně BC od mezných bodů B, C, uvnitř dvě přímky BD, DC; pravím, že BD+DC ostatních v trojúhelníku dvou stran BA+AC jsou kratší, avšak svírají ∡BDC větší než BAC.
Nuže prodlužme BD do E. A ježto v každém trojúhelníku dvě strany jsou delší než zbývající, tedy v △ABE strany AB+AE>BE; spolu přibeřme EC; tedy (BA+AC)>(BE+EC). Dále, ježto v △CED dvě strany CE+ED>CD; spolu přibeřme DB; tedy (CE+EB)>(CD+DB). Avšak ukázalo se, že (BA+AC)>(BE+EC); tedy BA+AC mnohem delší jsou než BD+DC.
Dále, ježto v každém trojúhelníku vnější úhel jest větší než protější vnitřní, tedy v △CDE vnější ∡BDC>CED. Proto ovšem též v △ABE vnější ∡CEB>BAC. Avšak ukázalo se, že ∡BDC>CEB; tedy ∡BDC mnohem větší jest než BAC.
Když tedy sestavíme v trojúhelníku — —.
Ze tří přímek, jež se rovnají třem daným přímkám, má se sestrojiti trojúhelník; nutno však, aby kterékoli dvě spolu byly větší než zbývající
Buďte danými třemi přímkami A, B, C, z nichž dvě kterékoli spolu větší buďte než zbývající, tedy (A+B)>C, (A+C)>B, a též (B+C)>A; tož má se z přímek délkám A, B, C rovných sestrojiti trojúhelník.
Mějme nějakou přímku DE, při D omezenou, při E pak neomezenou a odřízněme DF=A, FG=B, GH=C; a ze středu F poloměrem FD opišme kruh DKL; dále ze středu G poloměrem GH opišme kruh KLH a veďme spojnice KF, KG; pravím, že ze tří přímek, stejných s A, B, C, je sestrojen trojúhelník KFG.
Neboť ježto F je středem kruhu DKL, jest FD=FK; avšak FD=A; tedy i KF=A. Dále, ježto G je středem kruhu LKH, jest GH=GK; avšak GH=C, tedy i KG=C. Avšak i FG=B; tedy tři přímky KF, FG, GK stejné jsou s A, B, C.
