11
V každém trojúhelníku proti delší straně jest větší úhel.
Nuže budiž ABC trojúhelníkem a měj stranu AC delší než AB; pravím, že též úhel ABC>BCA.
Nuže ježto AC>AB, odřízněme AD=AB a veďme BD. A ježto vnějším úhlem trojúhelníku BCD jest ADB, jest větší úhlu vnitřního protějšího DCB; avšak ∡ADB=ABD, ježto i strana AB=AD; tedy též ∡ABD>ACB; mnohem větší tedy jest ABC než ACB.
V každém tedy trojúhelníku — —.
V každém trojúhelníku proti většímu úhlu leží delší strana.
Trojúhelníkem buď ABC a buď ∡ABC>BCA; pravím, že též strana AC delší je než strana AB. Neboť není-li tomu tak, buď ovšem AC=AB buď AC<AB. Stejnou zajisté není AC s AB, neboť stejným byl by též ∡ABC s ACB; avšak není. Tedy AC nerovná se AB. Ani zajisté AC<AB; neboť i ∡ABC byl by menší než ACB; avšak není; tedy není AC<AB. Ukázalo se však, že není ani stejný. Jest tedy AC delší než AB.
Tedy v každém trojúhelníku — —.
V každém trojúhelníku kterékoli dvě strany (součtem) jsou delší než strana zbývající.
Nuže budiž trojúhelníkem ABC; pravím, že v △ABC kterékoli dvě strany (dohromady) delší jsou než zbývající, t. j. (BA+AC)>BC, (AB+BC)>AC, (BC+CA)>AB.
Nuže budiž BA prodloužena do bodu D a učiňme AD=AC a veďme spojnici DC.
Ježto tedy DA=AC, také ∡ADC=ACD; tedy ∡BCD>ADC; a ježto v △DCB ∡BCD>BDC a proti většímu úhlu leží delší strana, tedy DB jest delší než BC. DA však =AC; tedy BA+AC jsou delší než BC. Podobně dokážeme, že též (AB+BC)>CA jakož i (BC+CA)>AB.
Tedy v každém trojúhelníku — —.
