10
CEA+AED=AED+DEB. Odečten buď spospolečný AED; zbývající tedy CEA=BED. Podobně ovšem se dokáže, že též ∡CEB=DEA.
Když se tedy dvě přímky — —.
V každém trojúhelníku, jehož jedna strana se prodlouží, vnější úhel větší jest než kterýkoli protější úhel vnitřní.
Trojúhelníkem buď ABC, a prodloužena buď jedna jeho strana BC do D; pravím, že vnější úhel ACD je větší než kterýkoli z protějších úhlů vnitřních CBA, BAC.
Rozpůlena buď AC v E a spojnice BE prodloužena buď (v přímce) do F, a buď BE=EF a vedena buď spojnice FC, a buď AC prodloužena do G. Ježto tedy AE=EC a BE=EF, patrně AE+EB=CE+EF a ∡AEB=FEC, neboť jsou vrcholové; základna tedy AB=FC a △ABE=FEC, i zbývající úhly zbývajícím úhlům, proti nimž leží stejné strany, jeden druhému se rovnají; tedy ∡BAE=ECF. Avšak ∡ECD>ECF, tehdy ∡ACD>BAE. Podobně ovšem, když se rozpůlí BC, též ∡BCG, t. j. ACD>ABC.
V každém tedy trojúhelníku — —.
V každém trojúhelníku součet kterýchkoli dvou úhlů jest menší dvou pravých.
Trojúhelníkem budiž ABC; pravím, že v trojúhelníku ABC součet kterýchkoli dvou úhlů[1] jest menší dvou pravých.
Nuže budiž BC prodloužena do D.
A ježto v △ABC vnějším úhlem jest ACD, jest větší vnitřního a protějšího ABC, spolu pak přičtěme ACB; tedy (∡ACD+ACB)>(ABC+BCA). Avšak ACD+ACB=2R; tedy (ABC+BCA)<2R. Podobně ovšem dokážeme, že i (∡BAC+ACB)<2R a rovněž CAB+ABC.
Tedy v každém trojúhelníku — —.
- ↑ Eukl. dí: »dva úhly jakkoli střídány jsouce«, roz. součet jejich.
