Na dané přímce omezené postav trojúhelník rovnostranný.
Danou přímkou omezenou buď AB. Má se tedy na přímce AB postaviti trojúhelník rovnostranný.
Ze středu A poloměrem AB buď narýsován kruh BCD, a opět ze středu B poloměrem BA buď narýsován kruh ACE, a od bodu C, v němž kruhy se protínají, k bodům A, B buďte vedeny spojnice AC, CB. A ježto bod A je středem kruhu CDB, AC je stejné s AB; ježto dále bod B je středem kruhu CAE, jest BC stejné s BA. Bylo pak dokázáno, že i CA je stejné s AB; tedy jedna i druhá z CA, CB je stejná s AB. Veličiny však témuž rovné i navzájem rovny jsou; tedy též CA jest rovna CB; ty tři tedy, CA, AB, BC jsou si rovny.
Je tedy trojúhelník ABC rovnostranný a postaven jest na dané přímce omezené AB; což právě bylo vykonati.[1]
Z daného bodu zřiď přímku rovnou přímce dané.
Daným bodem buď A, danou přímkou BC; má se tedy z bodu A zříditi přímka dané přímce BC rovná.
Nuže veďme z bodu A do bodu B spojnici AB a sestavme na ní trojúhelník rovnostranný DAB (I. i.) a prodlužme rovně přímky DA, DB v přímky AE, BF a ze středu B poloměrem BC narýsujme kruh CGH a též ze středu D poloměrem DG narýsujme kruh GKL.
Ježto tedy bod B je středem kruhu CGH, BC=BG. Ježto dále bod D je středem krubu GKL, DL=DG, z čehož DA=DB. Zbytek tedy AL=BG. Bylo pak dokázáno, že též BC=BG. Veličiny však témuž rovné i navzájem rovny jsou; tedy AL=BC.
Tedy z daného bodu A vedena jest přímka AL rovná dané přímce BC, což bylo vykonati.
- ↑ Eukl. neužívá znamének, jako jsou: =, ∥, ∼, ∡, △, AB3 a pod., tak nestalo se ani v překladě tohoto úkolu; dále jich užíváno bude.
