Ottův slovník naučný/Pangeometrie
| Ottův slovník naučný | ||
| Pangenesis | Pangeometrie | Pangermanismus |
| Údaje o textu | |
|---|---|
| Titulek: | Pangeometrie |
| Autor: | Alois Strnad |
| Zdroj: | Ottův slovník naučný. Devatenáctý díl. Praha : J. Otto, 1902. S. 147–148. Dostupné online |
| Licence: |  PD old 70 |
Pangeometrie, též geometrie absolutní, neeuklidovská, slove geom. theorie, která počátkem XIX. století vznikla na základě revise Euklidovy nauky o rovnoběžkách. Tato nauka zakládá se na proslulém 5. postulátě (11. axiom): Dvě přímky sečené přímkou třetí tak, že na jedné straně sečny jest součet obou přilehlých vnitřních úhlů menší úhlu přímého, byvše dostatečně prodlouženy protínají se, a to na oné straně sečny. Již Legendre a Gauss zabývali se otázkou, nelze-li tohoto postulátu v geometrii postrádati; lze jej sice nahraditi jinými, více nebo méně totožnými, ale nelze ho přesně dokázati. Lobačevskij (v. t.), postaviv se na nové stanovisko, ukázal ve spisech university kazaňské r. 1826, 1829, 1836–38, že lze zbudovati přesnou, odporů prostou geometrii, která nepředpokládá postulát Euklidův a která následkem toho připouští věty: Bodem lze ku přímce vésti dvé rovnoběžek. Součet úhlů v trojúhelníku jest menší úhlu přímého; součet ten není pro všechny trojúhelníky stejný. K výsledkům těmto, na pohled absurdním, ale s geometrií Euklidovou logicky stejně oprávněným, dospěl též r. 1832 maďarský učenec Jan Bolyai (v. t.). Zásluhou mathematika Hoüela staly se práce tyto v překladu francouzském obecně přístupnými a známými; rozšířily značně obzor geometrův a přivodily nové obecné názory o povaze prostoru a útvarů geometrických. Nazván proto Lobačevskij Koprníkem v geometrii (dle výroku angl. mathematika Sylvestera). Základy geometrie prozkoumány pak za tím účelem, aby se poznalo, které pravdy geometrické jsou původu ryze empirického a které ryze racionálného. V tom směru důležity jsou spisy: Riemann, Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (1867) a Helmholtz, Ueber die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (1868). Beltrami v pojednání Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (1868) dospěl k překvapujícímu výsledku, že věty geometrie Lobačevského, které – pokud se roviny týče – s obyčejnými názory se nesrovnávají, uskutečněny jsou na plochách s negativnou konstantní křivostí, jakou jest na př. pseudosféra, vznikající otočením traktorie přímky kolem této jakožto osy. Geometrie Lobačevského předpokládá přímku nekonečnou; to není však nutným požadavkem vědeckým, ba můžeme též vytvořiti přesnou theorii geometrickou, pokládajíce přímku za uzavřenou. Tu pak můžeme buď s Riemannem za to míti, že každé dvě přímky z jednoho bodu vycházející ještě ve druhém určitém bodě se setkávají (jako hlavní kružnice na kouli), aneb rozhodnouti se pro mínění Newcombovo a Kleinovo, že dvě přímky, ze společného bodu vycházejíce, k bodu tomu se vracejí, podruhé se nesetkavše. V geometrii Riemannově bodem lze vésti ku přímce dvě imaginární rovnoběžky; součet úhlů v trojúhelníku jest větší úhlu přímého (jako v trojúhelníku sférickém). Klein v pojednání Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (1871) ukázal souvislost geometrie Lobačevského s Cayleyovou theorií metriky.
Všechny tyto výzkumy vedly k poznání, že prostor, ve kterém jest možným pohyb neproměnných útvarů, může býti trojího druhu: prostor Euklidův, prostor Lobačevského a prostor Riemannův. Geometrii prostorů těchto lze analyticky vyjádřiti týmiž vzorci, které budou se rozeznávati jen hodnotami jisté konstanty, nazvané křivostí prostoru. Křivost tato v prostoru Euklidově rovná se nulle, v prostoru Lobačevského jest záporná, v prostoru Riemannově kladná. Klein nazval geometrii těchto prostorů geometrií parabolickou, hyperbolickou a elliptickou.
Společným názvem slují podle Gausse geometrií neeuklidovskou, dle Lobačevského p-ií či geometrií imaginárnou, dle Bolyaie geometrii absolutní. Geometrie tyto souvisí s geometrií prostoru n-rozměrného, která logicky jest možna a vědecky prospěšna, třeba existenci prostoru takového nelze srovnati se zkušeností. Avšak mnohé problémy, které geometrie kladla analysi, vedly přirozeně od dvou a tři veličin proměnných k počtu jich zcela obecnému. Výsledky, ke kterým analyse takto dochází, mohou co nejpohodlněji býti vysloveny užitím terminologie geometrické, byť i nebyly možny v prostoru obyčejném; obecná stanoviska tím získaná jsou geometrii vůbec na prospěch.
Literatura: Flye St Marie, Éudes analytiques sur la théorie des parallèles (1871); Frischauf, Elemente der absoluten Geometrie (1876); Tilly, Essai sur les principes fondamentaux de la géométrie et de la mécanique (1879); Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie (1893); Engel-Stäckel, Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie (1900). Sd.