Ottův slovník naučný/Binomická poučka

Ottův slovník naučný
Binomiala	Binomická poučka	Binomická rovnice

Údaje o textu
Titulek:	Binomická poučka
Autor:	František Josef Studnička
Zdroj:	Ottův slovník naučný. Čtvrtý díl. Praha : J. Otto, 1891. s. 76. Dostupné online.
Licence:	PD old 70
Heslo ve Wikipedii: Binomická věta

Binomická poučka (binomiální věta, theorema binomiale) jest pravidlo, podlé něhož se n-tá mocnina binomu čili dvojčlenu vyjadřuje pomocí mocnitele n a mocnin jednotlivých, binom skládajících členů neboli monomů. Značí-li a binomu člen prvý, b pak člen druhý, platí všeobecně

$$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}a^{n-k}b^{k},\qquad (1)$$

při čemž symbolické označení

$$n_{k}={\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k-1)}{1.2.3\dots k}},n_{0}=1,\qquad (2)$$

jež kratčeji se pomocí fakult (v. t.) vyjadřuje tvarem

$$n_{k}={\frac {n^{k-1}}{k^{k|-1}}}.$$

Symbol $n_{k}$, jejž zavedl Rothe roku 1820, sluje tu binomickým součinitelem čili koëfficientem (uncia binomialis) a nahrazuje se často tvarem $(n)_{k}$ neb ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$, což se čte n s příponou k a n nad k, při čemž arci binomická příslušnost a s ní spojený význam se předpokládá.

Z tohoto významu vzorcem (2) daného plyne, že

$$n_{k}=0\quad {\text{pro}}\quad k>n,$$

jestli n číslo positivní a celistvé, že však

$$n_{k}\gtrless 0\quad {\text{pro}}\quad k>n,$$

jestli n číslo buď negativní nebo lomené, z čehož jde dále na jevo, že řada binomická, na pravé straně vzorce (1) symbolicky vyjádřená jest v prvním případě konečnou obsahujíc $(n+1)$ člen, kdežto v případě druhém jde do nekonečna.

Jestli tedy n číslo positivní a celistvé, platí

$$(a+b)^{n}=a^{n}+{\frac {n}{1}}a^{n-1}b+{\frac {n(n-1)}{1.2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}a^{n-3}b^{3}+\dots +b^{n},$$

podlé čehož možná sestaviti pro zvl. případy

$${\begin{aligned}(a+b)^{2}&=a^{2}+2ab+b^{2}\\(a+b)^{3}&=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\(a+b)^{4}&=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\end{aligned}}$$

a t. d.

Upravíme-li součinitele binomické od nullté mocniny počínajíc ve tvar trojúhelníkový, vznikne obraze zvaný trojúhelník Paskalův (viz Arithmetický trojúhelník), z něhož názorem se poznává, jak vznikají následující řádky z předcházejících, tak že se zde zračí vlastnost b. koëfficientů, vyjádřená vzorcem

$$n_{k-1}+n_{k}=(n+1)_{k};$$

zároveň tu jde na jevo, máme-li na zřeteli řádky šikmo na pravo nebo levo běžící, že představují arithmetické řady tak zv. součtové, a sice

$${\begin{matrix}1,&1,&1,&1,&\dots \\1,&2,&3,&4,&\dots \\1,&3,&6,&10,&\dots \\1,&4,&10,&20,&\dots \end{matrix}}$$

zahrnuté všeobecným tvarem

$$n_{0},(n+1)_{1},(n+2),(n+3)_{3},\dots$$

Konečně ze vzorce (1) patrno, že pro $a=1,b=1$ obdrží se v případě prvém, kde n značí positivní a celistvé číslo,

$$n_{0}+n_{1}+n_{2}+n_{3}+\dots +n_{n}=2^{n},$$

čímž taktéž jedna z vynikajících vlastností b. součinitelů jest vyjádřena.

Poněvadž

$$(a+b)^{n}=a^{n}\left(1+{\frac {b}{a}}\right)^{n}=a^{n}(1+x)^{n},$$

zavede-li se označení ${\frac {b}{a}}=x$, patrno, že možno b-ckou p-ku na jednodušší tvar, obsahující jen jeden libovolný člen x, uvésti, a sice na

$$(1+x)^{n}=1+n_{1}x+n_{2}x^{2}+n_{3}x^{3}+\dots ,$$

kdež řada na pravé straně stojící taktéž do nekonečna jde, značí-li n číslo buď negativní nebo lomené, tak že, aby se jí pak smělo užiti, nutno vyšetřiti, zdali jse konvergentní čili sbíhavou.

Patříc k nejdůležitějším pravidlům mathematickým má b. p. bohatou literaturu a zajímavé dějiny, v nichž nejvíce vyniká Stifel, jenž poprvé vyjádřil vzájemnost b. součinitelů (Arith. int., 1544), načež Briggs neodvisle je skládati učil, pak Newton, jímž b. p. zevšeobecněna a hojně upotřebena, tak že často po něm zvána Newtonovou b-ckou p-kou, a konečně Abel, jehož stanovení podmínek konvergence řady binomické do nekonečna jdoucí (1826) dovršilo nauku o složení a jakosti n-té mocniny binomu. F. Std.