Ottův slovník naučný/Binomická poučka: Porovnání verzí

Smazaný obsah Přidaný obsah
oprava překlepu
Shlomo (diskuse | příspěvky)
oprava sazby
Řádek 12:
}}
{{Forma|proza}}
'''Binomická poučka''' ({{Prostrkaně|binomiální věta}}, ''theorema binomiale'') jest pravidlo, podlé něhož se ''n''-tá mocnina binomu čili dvojčlenu vyjadřuje pomocí mocnitele ''n'' a mocnin jednotlivých, binom skládajících členů neboli monomů. Značí-li ''a'' binomu člen prvý, ''b'' pak člen druhý, platí všeobecně
<math display=block>(a+b)^n=\sum_{k=0}^\infty n_ka^{n-k}b^k, \qquad (1)</math>
 
<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^\infty n_ka^{n-k}b^k</math>
 
při čemž symbolické označení
<math display=block>n_k=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k-1)}{1.2.3.\dots k}, n_0=1, \qquad (2)</math>
jež kratčeji se pomocí [[../Fakulta|fakult (v. t.)]] vyjadřuje tvarem
<math display=block>n_k=\frac{n^{k-1}}{k^{k|-1}}.</math>
 
Symbol <math>n_k</math>, jejž zavedl {{Prostrkaně|Rothe}} roku 1820, sluje tu {{Prostrkaně|binomickým součinitelem}} čili {{Prostrkaně|koëfficientem}} (''{{Cizojazyčně|la|uncia binomialis}}'') a nahrazuje se často tvarem <math>(n)_k</math> neb <math diplay=inline>\binom{n}{k}</math>, což se čte ''n'' s příponou ''k'' a ''n'' nad ''k'', při čemž arci binomická příslušnost a s ní spojený význam se předpokládá.
<math>n_k=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k-1)}{1.2.3.\dots k}, n_0=1</math>
 
jež kratčeji se pomocí fakult (v. t.) vyjadřuje tvarem
 
<math>n_k=\frac{n^{k-1}}{k^{k|-1}}.</math>
 
Symbol <math>n_k</math>, jejž zavedl {{Prostrkaně|Rothe}} roku 1820, sluje tu {{Prostrkaně|binomickým součinitelem}} čili {{Prostrkaně|koëfficientem}} (''uncia binomialis'') a nahrazuje se často tvarem <math>(n)_k</math> neb <math>\binom{n}{k}</math>, což se čte ''n'' s příponou ''k'' a ''n'' nad ''k'', při čemž arci binomická příslušnost a s ní spojený význam se předpokládá.
 
Z tohoto významu vzorcem (2) daného plyne, že
<math display=block>n_k=0 \quad\text{pro}\quad k>n,</math>
 
<math>n_k=0</math> pro <math>k > n</math>,
 
jestli ''n'' číslo {{Prostrkaně|positivní}} a {{Prostrkaně|celistvé}}, že však
<math display=block>n_k \gtrless 0</math> \quad\text{pro <math>}\quad k > n ,</math>,
 
<math>n_k \gtrless 0</math> pro <math> k > n </math>,
 
jestli ''n'' číslo buď {{Prostrkaně|negativní}} nebo {{Prostrkaně|lomené}}, z čehož jde dále na jevo, že řada binomická, na pravé straně vzorce (1) symbolicky vyjádřená jest v prvním případě {{Prostrkaně|konečnou}} obsahujíc <math>(n+1)</math> člen, kdežto v případě druhém jde do {{Prostrkaně|nekonečna}}.
 
Jestli tedy ''n'' číslo positivní a celistvé, platí
<math display=block>(a+b)^n=a^n+\frac{n}{1}a^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}b^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}a^{n-3}b^3+\dots +b^n,</math>
 
<math>(a+b)^n=a^n+\frac{n}{1}a^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}b^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}a^{n-3}b^3+\dots +b^n,</math>
 
podlé čehož možná sestaviti pro zvl. případy
<math display=block>\begin{align}
 
:<math>(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2</math> \\
:<math>(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> \\
:<math>(a+b)^4&=a^4+4a^3b + 6a^2b^2+4ab^3 + b^4</math>
\end{align}
:a t. d.
</math>
:a t. d.
 
Upravíme-li součinitele binomické od nullté mocniny počínajíc ve tvar trojúhelníkový, vznikne obraze zvaný {{Prostrkaně|trojúhelník Paskalův}} (viz [[../Arithmetický trojúhelník|{{Prostrkaně|Arithmetický trojúhelník}}]]), z něhož názorem se poznává, jak vznikají následující řádky z předcházejících, tak že se zde zračí vlastnost b. koëfficientů, vyjádřená vzorcem
<math display=block>n_{k-1}+n_k=(n+1)_k;</math>
 
<math>n_{k-1}+n_k=(n+1)_k;</math>
 
zároveň tu jde na jevo, máme-li na zřeteli řádky šikmo na pravo nebo levo běžící, že představují arithmetické řady tak zv. {{Prostrkaně|součtové}}, a sice
<math display=block>
 
<math>
\begin{matrix}
1, &1, &1, & 1, & \dots \\
Řádek 61 ⟶ 49:
\end{matrix}
</math>
 
zahrnuté všeobecným tvarem
<math display=block> n_0, (n+1)_1, (n+2), (n+3)_3,\dots</math>
 
<math> n_0, (n+1)_1, (n+2), (n+3)_3,\dots</math>
 
Konečně ze vzorce (1) patrno, že pro <math>a=1, b=1</math> obdrží se v případě prvém, kde ''n'' značí positivní a celistvé číslo,
<math display=block>n_0+n_1+n_2+n_3+\dots + n_n=2^n,</math>
 
čímž taktéž jedna z vynikajících vlastností '''b.''' součinitelů jest vyjádřena.
<math>n_0+n_1+n_2+n_3+\dots + n_n=2^n,</math>
 
čímž taktéž jedna z vynikajících vlastností b. součinitelů jest vyjádřena.
 
Poněvadž
<math display=block>(a+b)^n=a^n\left(1+\frac{b}{a}\right)^n=a^n(1+x)^n,</math>
 
<math>(a+b)^n=a^n\left(1+\frac{b}{a}\right)^n=a^n(1+x)^n,</math>
 
zavede-li se označení <math>\frac{b}{a}=x</math>, patrno, že možno '''b'''-ckou '''p'''-ku na jednodušší tvar, obsahující jen jeden libovolný člen ''x'', uvésti, a sice na
<math display=block>(1+x)^n=1+n_1x+n_2x^2+n_3x^3+\dots, </math>
 
<math>(1+x)^n=1+n_1x+n_2x^2+n_3x^3+\dots, </math>
 
kdež řada na pravé straně stojící taktéž do nekonečna jde, značí-li ''n'' číslo buď {{Prostrkaně|negativní}} nebo {{Prostrkaně|lomené}}, tak že, aby se jí pak smělo užiti, nutno vyšetřiti, zdali jse {{Prostrkaně|konvergentní}} čili {{Prostrkaně|sbíhavou}}.